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mais j'en étais restée à l'idée que les clients de messagerie n'offraient pas la commodité des "conversations" dont le format a fait le succès de Gmail
Bravo d'avoir trouvé cette extension (que ne connais pas). A tester.
Il est vrai, à la réflexion, que je pourrais y charger les messages de la ProtonMail que j'utilise uniquement chez moi, pour le coup.
Mais c'est bon dieu bien sûr ! Puisqu'il est stratégique pour toi, c'est là qu'il doit être.
Dans cette page https://fr.wikipedia.org/wiki/Proton_Mail
on peut lire :
"Le service est accessible depuis tout navigateur web respectueux des normes établies, ou par une application mobile pour ce qui concerne les ordiphones fonctionnant sous Android ou iOS. Depuis , Proton Mail propose Proton Mail Bridge, une application permettant de conserver la sécurité du service en le rendant compatible avec des logiciels de messagerie tels que Mozilla Thunderbird, Microsoft Outlook et Apple Mail5 "
je consulte mon adresse Gmail aussi bien à la maison qu'au collège où je travaille, et dans ce dernier cas : pas toujours sur le même ordinateur.
Plusieurs pistes :
- Si ce n'est que pour consulter, définir le compte webmail dans Thunderbird en protocole IMAP (qui synchronise tout) à la maison et lire les messages Gmail en webmail sur les autres ordinateur. Y répondre au besoin : Les messages envoyés en webmail seront synchronisés dans Thunderbird maison qui est la base centrale de gestion des mails.
Pour la sécurité, définir également le même compte en POP dans le Thunderbird maison ==> Les messages reçus ou envoyés depuis ce compte ne peuvent pas y être supprimés par une suppression sur le serveur.
- Rien n’empêche d'avoir plusieurs Thunderbird : un par ordinateur pour éviter de passer d'un système à un autre, du point de vue ergonomie et de laisser les derniers messages reçus sur le serveur afin qu'ils soient importés sur chacun des Thunderbird. Mais sur plusieurs ordinateurs, qui de plus ne sont pas à soi... pas top pas top 
!
- Si tu ne consultes pas toujours sur le même ordinateur, LA solution, c'est Thunderbird portable :
https://communaute.orange.fr/t5/Trucs-et-astuces/Tout-savoir-sur-Thunderbird-portable/ta-p/2666036
Tu te balades d'ordinateur en ordinateur avec ta petite clé USB et tu es partout comme à la maison, là ou tu fais ensuite tes sauvegardes de clé USB.
Chez moi, j'ai cette clé USB en permanence dans mon hub USB. je la sauvegarde automatiquement tous les jours sur DD externe et sur le DD de l'ordinateur (double sauvegarde pour avoir ceinture et bretelles).
Je l'emmène avec moi en voyage et je suis partout comme chez moi.
ProtonMail Bridge n'est accessible qu'avec une offre payante , et je suis pour le moment sur l'offre gratuite. Et ils ne proposent pas le pop, viens-je de découvrir 
Je vais voir ce que je peux faire.
Je ne connaissais pas Thunderbird Portable, mais je rechigne un peu à l'idée de me balader dans un établissement scolaire avec une clé usb contenant l'intégralité de ma messagerie. Un oubli est si vite arrivé... (je crains moins la perte des messages, toujours évitable avec une bonne sauvegarde des familles, que la possibilité qu'un élève accède à mes messages !). Là aussi, "faut voir".
S'agissant de ta dernière piste (le compte gmail en imap et en pop), je n'y avais pas pensé, parce que je savais pas qu'il était possible de créer un double compte avec une même adresse. Si je comprends bien ton idée, c'est : le compte imap pour travailler (consulter et envoyer), le compte pop pour mettre les messages à l'abri. La seule question c'est sur le paramétrage du délai de conservation des messages sur le serveur : il doit être le même sur les deux comptes, j'imagine ?
Bonjour @MarieHelene41
Pour ProtonMail, je te laisse lâchement te dépatouiller avec les helvètes car comme déjà dit, je ne connais pas.
Pour Thunderbird portable je comprends ton choix car cela veut aussi dire Thunderbird cassable, volable, oubliable.
Il te reste donc la consultation en webmail à l'école et la syncho IMAP dans TB plus tard à la maison.
Pour la double définition du compte, voir cet autre tuto :
La question sur le du délai de conservation ne se pose pas car cette valeur peut être régie pour les deux comptes par le compte POP.
En effet, si le compte POP est défini comme suit :
...
- Les messages seront conservés à perpette sur le compte IMAP et pendant le nombre de jours spécifié dans le compte POP...
Mais...
Puisqu'ils sont supprimés du serveur après ce nombre de jours ou quand je les supprime (si la case idoine est cochée), par la synchro de l'IMAP, ils sont également supprimés du serveur et par contrecoup du compte IMAP dans TB.
Pour cette raison (entre autres), je recommande de classer par déplacement (cliquer-glisser ou par clic droit / déplacer vers...) tout mail qu'on veut conserver dans des dossiers qu'on crée sous "Dossiers locaux" par sujet , lesquels ne sont pas synchronisés.
- Tout déplacement / classement à partir du compte IMAP provoquera la suppression sur le serveur car le dossier reçus ou envoyés ne contiendra plus le mail déplacé.
- La boite de réception n'est pas un lieu de stockage mais seulement de passage, tout comme la boite aux lettres. Il faudra donc classer les mails qu'elle contient avant expiration du délai de suppression spécifié dans POP.
Effectivement, je suggère de faire les classements à partir du compte IMAP qui synchronise, et ceci pour les reçus et les envoyés, afin de garder le serveur clean et laisser le compte POP vivre sa vie dans son coin, seulement comme sauvegarde locale des mails reçus.
Voili-voilou pour aujourd’hui.
Merci pour ces éléments et ces conseils 
Je vais tâcher d'en faire bon usage !